/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 2075569

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość 6, a krawędź podstawy ma długość 3. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Odcinek F E stanowi 13 wysokości trójkąta równobocznego w podstawie, czyli

√ -- √ -- 1- 1- a--3- --3- F E = 3AE = 3 ⋅ 2 = 2 .

Trójkąt BED jest prostokątny, więc możemy łatwo obliczyć wysokość ściany bocznej

∘ ------- ∘ ------ ∘ --- √ --- ∘ ------------ 9 1 1 5 3 15 h = BD 2 − BE 2 = 36− --= 3 4 − --= 3 --- = ------. 4 4 4 2

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie F ED obliczamy wysokość ostrosłupa

∘ ---------- √ ---- √ --- ∘ --2-----2 9-⋅15- 3- --132- 2--3-3 √ --- H = h − F E = 4 − 4 = 2 = 2 = 33.

Teraz już łatwo obliczyć sinus

√ --- √ --- √ --- H 33 2 1 1 2 5 5 sin α = -h = 3√-15-= --√--- = --15--. --2-- 3 5

 
Odpowiedź: √ -- 2--55 15

Wersja PDF