/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 3041458

W sferę o promieniu R wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny w ten sposób, że wszystkie wierzchołki ostrosłupa leżą na powierzchni sfery. Wiedząc, że krawędź boczna ostrosłupa ma długość 13, a krawędź podstawy długość 5√ 3- , oblicz R .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Zauważmy, że prosta DE zawierająca wysokość ostrosłupa zawiera też średnicę sfery, czyli trójkąt DAE jest prostokątny (kąt DAE jest oparty na średnicy). Ponadto AF jest wysokością tego trójkąta. Obliczmy długość tego odcinka – ma on długość 2 3 wysokości trójkąta równobocznego ABC , czyli

 √ -- √ -- AF = 2⋅ 5--3-⋅--3-= 5. 3 2

Stąd (twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ADF )

 ∘ ------------ √ --------- √ ---- DF = AD 2 − AF 2 = 16 9− 2 5 = 144 = 12.

Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąty prostokątne AED i FAD są podobne (mają wspólny kąt ADE ). Mamy więc

AD-- = FD-- ED AD 13 12 132 1 69 --- = --- ⇒ R = ----= ----. 2R 13 24 24

 
Odpowiedź:  169 R = 24

Wersja PDF
spinner