/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Objętość

Zadanie nr 9983894

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej ma długość √ -- 4 3 , a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 ∘ . Oblicz objętość ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy, że podany kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy pozwala łatwo obliczyć długość wysokości SE ostrosłupa oraz promień ED okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny w podstawie. Patrzymy na trójkąt prostokątny SDE .

-- SE √ -- √ 3 ----= sin 60∘ ⇒ SE = 4 3⋅ ----= 6 SD 2 DE--= cos6 0∘ ⇒ DE = 4√ 3⋅ 1-= 2√ 3-. SD 2

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny to 13 jego wysokości, więc jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi postawy to mamy równanie

√ -- 1 a 3 √ -- 6 --⋅-----= 2 3 / ⋅ √--- 3 2 3 a = 12.

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa

√ -- √ -- 1 a2 3 1 144 3 √ -- V = --⋅------⋅H = --⋅ -------⋅6 = 7 2 3. 3 4 3 4

 
Odpowiedź: √ -- V = 72 3

Wersja PDF