/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 6628423

Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną dolnej podstawy i jeden z wierzchołków górnej podstawy. Otrzymany przekrój jest trójkątem równoramiennym, którego ramiona tworzą kąt α , taki że cos α = 1 3 . Pole podstawy tego graniastosłupa wynosi 32 cm 2 . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od dużego rysunku.

PIC

Znając pole dolnej podstawy, bez trudu wyliczamy krawędź a podstawy.

√ -- a2 = 32 ⇒ a = 4 2.

Pozostało wyliczyć krawędź boczną b – zrobimy to pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie BDC ′ .

∘ ------- ∘ -------- BC ′ = DC ′ = a2 + b2 = 32+ b2 √ -- BD = a 2 = 8 BD 2 = (BC ′)2 + (DC ′)2 − 2BC ′ ⋅DC ′co sα BD 2 = 2(BC ′)2 − 2(BC ′)2 3 ( 1 ) BD 2 = 2(BC ′)2 1 − -- 3 4- 2 64 = 3 (32+ b ) 2 48 = 32 + b b2 = 16 ⇒ b = 4.

Liczymy objętość

V = a2 ⋅b = 32 ⋅4 = 128.

 
Odpowiedź: V = 128 cm 3

Wersja PDF