Zadanie nr 7696300

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości 4, a wysokość prostopadłościanu jest równa 8. Połączono odcinkami środki trzech krawędzi prostopadłościanu, które mają wspólny wierzchołek i otrzymano trójkąt P QR

Oblicz długości boków trójkąta .
Wyznacz sinusy kątów trójkąta .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Ponieważ odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest dwa razy krótszy od trzeciego boku (twierdzenie Talesa), więc

$∘ ------- -- P Q = 1-BC ′ = 1- 8 2 + 42 = 2√ 5 2 2 1 ′ ′ 1∘ ------- √ -- QR = 2-C A = 2- 42 + 42 = 2 2 ∘ ------- √ -- RP = 1-A′B = 1- 42 + 82 = 2 5. 2 2$

Odpowiedź: ,
Narysujmy sobie z boku trójkąt równoramienny . Mamy
$√ -- √ --- cos ∡Q = QN--= -√-2-= --10- QP 2 5 10 ∘ ------------- ∘ -------- √ --- sin∡Q = 1 − co s2∡Q = 1 − -10-= 3--1-0. 100 10$

Sinus kąta możemy wyliczyć z twierdzenia sinusów

$PR QR ------- = ------- si√n∡Q √sin-∡P 2--5- -2--2-- 3√ 10-= sin ∡P -10-- 10 √ 2- -√---= ------- 3 2 sin∡P 3- sin∡P = 5.$

Odpowiedź: ,