/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 9999616

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa √ -- 8 6 . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60∘ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy graniastosłupa. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu mamy

√ -- AC = a 2.

Z trójkąta prostokątnego ACE obliczamy wysokość graniastosłupa.

AE--= tg ∡ACE AC AE √ -- √ -- -√---= 3 ⇒ AE = a 6. a 2

Teraz wykorzystujemy informację o objętości graniastosłupa.

√ -- 2 √ -- √ -- 8 6 = V = PABCD ⋅ AE = a ⋅a 6 / : 6 8 = a3 ⇒ a = 2.

Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

√ -- P = 2PABCD + 4PABFE = 2a2 + 4⋅a ⋅a 6 = √ -- √ -- = 2a2(1 + 2 6) = 8 (1+ 2 6).

 
Odpowiedź: √ -- Pc = 8 (1+ 2 6)

Wersja PDF