/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 9420008

Punkty A = (− 9,− 3) i B = (5,5) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC , w którym AB jest przeciwprostokątną. Wyznacz współrzędne wierzchołka C wiedząc, że leży on na osi Ox .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Z obrazka widać, że będą dwa takie punkty C .

Sposób I

Skoro trójkąt ABC ma być prostokątny, to punkt C musi leżeć na okręgu o średnicy AB . Nie jest trudno napisać równanie tego okręgu. Jego środek to środek odcinka AB , czyli

( ) O = −-9-+-5 , −-3+-5 = (− 2,1), 2 2

a promień jest równy

∘ ------------------- √ ---- AB-- ---(5+--9)2 +-(5-+-3-)2 --260- √ --- r = 2 = 2 = 2 = 65.

Zatem okrąg o średnicy AB mam równanie

(x + 2)2 + (y − 1)2 = 65.

Pozostało wyznaczyć jego punkty wspólne z osią Ox – podstawiamy y = 0 .

2 2 (x + 2) + (− 1) = 65 (x + 2)2 = 64 x + 2 = − 8 ∨ x + 2 = 8 x = − 10 ∨ x = 6.

Zatem C = (− 10,0) lub C = (6,0 ) .

Sposób II

Szukamy takiego punktu C = (x,0) , aby odcinki AC i BC były prostopadłe. Na mocy twierdzenia Pitagorasa musimy rozwiązać równanie

2 2 2 AC + BC = AB (x+ 9)2 + (−3 )2 + (x − 5)2 + 52 = (5 + 9 )2 + (5 + 3)2 x2 + 18x + 81 + 9 + x2 − 10x + 2 5+ 2 5 = 196 + 64 2 2x + 8x − 120 = 0 / : 4 1-2 2x + 2x − 3 0 = 0 Δ = 4 + 6 0 = 64 x = − 2 − 8 = − 10 ∨ x = − 2+ 8 = 6.

Zatem C = (− 10,0) lub C = (6,0 ) .

Sposób III

Szukamy takiego punktu C = (x,0) , aby odcinki AC i BC były prostopadłe. Łatwo zapisać ten warunek używając iloczynu skalarnego.

−AC→ ∘ −B→C = 0 [x + 9,3]∘ [x − 5,− 5] = 0 (x + 9)(x − 5 )− 1 5 = 0 x 2 + 9x − 5x − 45− 15 = 0 2 x + 4x − 6 0 = 0 Δ = 16 + 240 = 256 = 16 2 x = −-4−--16-= − 1 0 ∨ x = −-4-+-16-= 6. 2 2

Zatem C = (− 10,0) lub C = (6,0 ) .  
Odpowiedź: C = (− 10,0) lub C = (6 ,0)

Wersja PDF