Geometria analityczna/Geometria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Prosta tworzy z dodatnią półosią kąt o mierze ∘ 135 i przechodzi przez punkt M = (3 ,− 7 ) . Prosta jest prostopadła do prostej i przecina oś w punkcie o odciętej − 6 . Oblicz obwód trójkąta utworzonego przez proste , i oś .

W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami ( )2 f(x ) = 12 x− 32 − 3 oraz g (x) = 1 (x− 1)2 + 1 4 . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją w punkcie o współrzędnych P = (3,2) . Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją . Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca pomostu od początku ) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 3 5 45 1537 |PR | = 4x 4 − 2x3 − 8-x2 + -8 x + -64--,

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi , którego środkiem jest punkt S = (3,− 5) .

Punkt A (4,− 10) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD . Dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach y = 3x − 2 i y = −x + 6 . Wyznacz pozostałe wierzchołki równoległoboku.

Wyznacz współrzędne środka ciężkości trójkąta w zależności od współrzędnych jego wierzchołków.

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji 9x−45 f (x) = x−6 określonej dla x ∈ (− ∞ ,6) . Wykres ten przecina osie i odpowiednio w punktach i , a punkt jest początkiem układu współrzędnych. Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , w których punkt leży na wykresie funkcji y = f(x) pomiędzy punktami i .

Oblicz współrzędne wierzchołka tego z rozpatrywanych czworokątów, którego pole jest największe.

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty postaci: ( ) P = 1m + 5,m 2 2 , gdzie m ∈ ⟨− 1,7⟩ . Oblicz najmniejszą i największą wartość 2 |PQ | , gdzie ( 55 ) Q = 2-,0 .

Wyznacz równanie okręgu, który jest obrazem okręgu 2 2 (x + 4) + (y − 7) = 2 7 w jednokładności o środku S = (− 1,4) i skali .

Ukryj Podobne zadania

Wyznacz równanie okręgu, który jest obrazem okręgu 2 2 (x − 1) + (y − 6) = 2 7 w jednokładności o środku S = (− 2,3) i skali .

Przekątna czworokąta ABCD zawiera się w prostej o równaniu x − 2y − 7 = 0 . Wierzchołki B,D tego czworokąta mają współrzędne B = (8;− 6) , D = (− 3;5 ) . Oblicz współrzędne punktu przecięcia się przekątnych czworokąta ABCD .

Punkt A = (− 2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok jest zawarty w prostej o równaniu y = x+ 1 . Oblicz współrzędne wierzchołka .

Wierzchołki i trójkąta prostokątnego ABC leżą na osi układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków , i w punktach – odpowiednio – P = (0,10 ) , Q = (8,6) i R = (9,13) . Oblicz współrzędne wierzchołków , i tego trójkąta.

Ukryj Podobne zadania

Wierzchołki i trójkąta prostokątnego ABC leżą na prostej y = − 4 . Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków , i odpowiednio w punktach P = (6,− 4) , Q = (2,4) i R = (9,5) . Oblicz współrzędne wierzchołków , i tego trójkąta.

Okrąg o środku w punkcie S = (3,7) jest styczny do prostej o równaniu y = 2x− 3 . Oblicz współrzędne punktu styczności.

Ukryj Podobne zadania

Okrąg o środku w punkcie S = (−3 ,4) jest styczny do prostej o równaniu y = − 43x + 253 . Oblicz współrzędne punktu styczności.

Okrąg o środku w punkcie S = (7,4) jest styczny do prostej o równaniu 3x + 4y + 13 = 0 . Oblicz promień tego okręgu oraz współrzędne punktu styczności.

Okrąg o środku w punkcie S = (−2 ,7) jest styczny do prostej o równaniu y = − 2x+ 7 . Oblicz współrzędne punktu styczności.

Oblicz, ile jest punktów (x,y) na płaszczyźnie, których współrzędne i są liczbami całkowitymi spełniającymi odpowiednio nierówności: |1 79− x| < 43 i |y + 372 | < 21 .

Narysuj w układzie współrzędnych zbiór

A = {(x,y) : y ∈ ⟨− 1,3 ⟩ i y = 2x + b i b ∈ ⟨− 3,2⟩}

oraz oblicz jego pole powierzchni.

Napisz równanie okręgu, który jest styczny do prostej y = x w punkcie A = (− 2,− 2) , oraz który odcina z prostej y = −x − 6 cięciwę o długości 8.

Wykaż, że punkt o współrzędnych ( √2- √46−4√-2) − 2 , 2 jest wierzchołkiem kwadratu opisanego na okręgu o równaniu

√ -- √ -- x2 + y2 − 2x 2 + 4y 2 + 2 = 0.

Zapisz równanie okręgu o środku i promieniu , jeśli S(2,1),r = 3 .

Ukryj Podobne zadania

Zapisz równanie okręgu o środku i promieniu , jeśli S(− 2,3),r = 4 .

Dane są wektory → a = [1,− 2] , → b = [− 2,− 1] , → c = [3,4] . Dobierz wartości parametrów p ,q ∈ R tak, aby wektory −→ → AB = p a , −→ → BC = qb i −→ → CA = c tworzyły trójkąt ABC .

Punkty A = (1,1), B = (5,5), C = (3,5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD niebędącego równoległobokiem, w którym AB ∥ CD .

Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu.
Oblicz pole tego trapezu.

W trójkącie prostokątnym ABC , gdzie ∘ |∡ACB | = 90 , wierzchołek ma współrzędne (6,0) . Prosta k : 1 1x+ 2y − 6 = 0 , zawierająca środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka , przecina bok trójkąta w punkcie ( 1) S = 1,− 22 . Wyznacz współrzędne punktów i .

Strona 20 z 26