/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Wyliczanie wierzchołków

Zadanie nr 9105212

Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta jeżeli środki jego boków mają współrzędne: P = (1,3),Q = (− 5,4),R = (− 6,7) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Powiedzmy, że punkty P,Q ,R są odpowiednio środkami boków AB ,BC ,CA trójkąta ABC .

Sposób I

Jeżeli oznaczymy szukane punkty przez A = (xA ,yA),B = (xB,yB ),C = (xC ,yC) to ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy układ równań

( xA+xB- ||| 2 = xP = 1 ||| xB+xC-= xQ = − 5 ||{ xC2+xA- 2 = xR = − 6 || yA+2yB-= yP = 3 |||| yB+yC- ||( y 2+y = yQ = 4 -C-2A- = yR = 7.

Daje to nam dwa układy

( ( |{ xA + xB = 2 |{ yA + yB = 6 | xB + xC = −1 0 | yB + yC = 8 ( xC + xA = − 12 ( yC + yA = 14

Rozwiązujemy te układy. Z pierwszych równań mamy x = 2 − x A B oraz yA = 6 − yB . Podstawiamy te wyrażenia do trzecich równań i mamy układy

{ { xB + xC = − 10 yB + yC = 8 xC + 2 − xB = − 12 yC + 6 − yB = 14

Dodając teraz równania stronami otrzymujemy x = − 12 C oraz y = 8 C . Stąd xB = 2 i yB = 0 oraz xA = 0,yA = 6 .

Sposób II

Zadanie można też dość szybko rozwiązać używając wektorów.

PIC

Jeżeli naszkicujemy trójkąt ABC z zaznaczonymi środkami boków to ponieważ odcinek łączący środki boków trójkąta jest równoległy do odpowiedniego boku oraz ma długość równą połowie długości tego boku, mamy

−→ −→ −→ AP = PB = RQ = [1,− 3] −→ −→ RC = P Q = [− 6,1].

Równości te pozwalają wyliczyć współrzędne punktów A ,B,C .

−→ AP = [1− xA,3 − yA ] = [1 ,− 3 ] ⇒ A = (0 ,6 ) −→ P B = [xB − 1,yB − 3] = [1,− 3] ⇒ B = (2,0) −→ RC = [x + 6,y − 7] = [− 6,1] ⇒ C = (− 12,8). C C

Na koniec obrazek dla ciekawskich.

PIC

 
Odpowiedź: A = (0,6),B = (2,0),C = (− 12,8)

Wersja PDF