/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 9247619

Punkty A = (1,1) i B = (6,2) są wierzchołkami trójkąta ABC . Wysokości trójkąta ABC przecinają się w punkcie M = (3,3) . Oblicz pole tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Podane informacje pozwalają dość łatwo napisać równania prostych zawierających boki AC i BC : pierwsza z nich jest prostopadła do BM i przechodzi przez A , a druga jest prostopadła do AM i przechodzi przez B . Aby napisać równania tych prostych skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W przypadku prostej AC mamy

→ −→ v = BM = [3− 6 ,3− 2] = [− 3,1]

i P = A = (1,1) . Prosta AC ma więc równanie

− 3(x − 1) + (y − 1) = 0 y = 3x − 2.

W przypadku prostej BC mamy

→ −→ v = AM = [3− 1,3− 1] = [2 ,2 ]

i P = B = (6 ,2 ) . Prosta AC ma więc równanie

2(x − 6)+ 2(y − 2) = 0 / : 2 y = −x + 8.

Szukamy teraz punktu wspólnego tych prostych, czyli wierzchołka C .

{ y = 3x − 2 y = −x + 8

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić y ) i mamy

5- 0 = 4x − 10 ⇒ x = 2 .

Z pierwszego równania

5- 1-1 y = −x + 8 = − 2 + 8 = 2

i ( ) C = 52 , 121 . Pole trójkąta ABC obliczamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

1 PABC = --|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

W naszej sytuacji mamy więc

| ( ) ( ) | 1 | 11 5 | PABC = --||(6 − 1) ---− 1 − (2− 1) --− 1 || = 2 | |2 2 1-|| 9- 3|| 1- 21- = 2 |5 ⋅2 − 2| = 2 ⋅21 = 2 .

 
Odpowiedź: 21- PABC = 2

Wersja PDF