/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną/Rozwiąż nierówność

Zadanie nr 9136110

Znajdź wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność |x + 4 | < 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Rozwiązaniem nierówności |x | < a , gdzie a > 0 jest przedział (−a ,a) . W naszej sytuacji mamy więc

x+ 4 ∈ (− 2,2) / − 4 x ∈ (− 6,− 2).

W przedziale tym znajdują się trzy liczby całkowite: − 5 ,− 4 ,− 3 .

Sposób II

Nierówność |x| < a , gdzie a > 0 jest równoważna nierówności − a < x < a . W naszej sytuacji mamy więc

− 2 < x + 4 < 2 / − 4 − 6 < x < − 2.

W przedziale tym znajdują się trzy liczby całkowite: − 5 ,− 4 ,− 3 .

Sposób III

Jeżeli x ≥ − 4 to wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne i mamy nierówność

x + 4 < 2 x < − 2.

W tym przypadku mamy więc dwa rozwiązania całkowite: − 4,− 3 .

Jeżeli natomiast x < − 4 to wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne i mamy nierówność

− x− 4 < 2 − 6 < x.

Tylko jedna liczba całkowita spełnia tę nierówność: − 5 .

Sposób IV

Przypomnijmy, że nierówność

|x − (− 4)| < 2

spełniają te liczby na osi liczbowej, które są odległe od − 4 o mniej niż 2.

PIC

Jeżeli zaznaczymy ten zbiór na osi liczbowej, to widać, że zawiera on tylko trzy liczby całkowite − 5,− 4,− 3 .  
Odpowiedź: {− 5,− 4,− 3}

Wersja PDF