/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 9408996

Udowodnij, że jeżeli a ,b ≥ 0 , to prawdziwa jest nierówność 3 3 2 4a + b ≥ 3ab .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli a = 0 lub b = 0 to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że a,b > 0 .

Sposób I

Przekształcamy nierówność korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.

4a3 + b3 ≥ 3ab2 a3 + b3 + 3a3 − 3ab2 ≥ 0 2 2 2 2 (a+ b)(a − ab+ b )+ 3a(a − b ) ≥ 0 (a+ b)(a2 − ab+ b2)+ 3a(a− b)(a+ b) ≥ 0 (a+ b)(a2 − ab+ b2 + 3a2 − 3ab) ≥ 0 2 2 (a+ b)(4a − 4ab + b ) ≥ 0 (a+ b)(2a − b)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Ponieważ nierówność jest jednorodna (każdy składnik jest jednomianem stopnia 3), możemy łatwo zamienić nierówność na nierówność, w której jest tylko jedna zmienna – dzielimy nierówność stronami przez b3 .

3 3 2 3 4a( +)b ≥ 3ab / : b a-3 a- 4 b + 1 − 3 ⋅b ≥ 0 .

Podstawiamy teraz x = ab i mamy

4x 3 − 3x + 1 ≥ 0.

Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków lewej strony jest x = − 1 , więc dzielimy ten wielomian przez x + 1 .

4x3 − 3x + 1 = (4x 3 + 4x2)− (4x2 + 4x) + (x + 1) = 2 2 2 = 4x (x + 1 )− 4x (x+ 1)+ (x+ 1) = (x + 1)(4x − 4x + 1) = (x + 1)(2x − 1) .

Teraz jest jasne, że dla x > 0 wielomian ten przyjmuje tylko wartości nieujemne.

Wersja PDF