/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Przekształcenia

Zadanie nr 4580233

W jednokładności o środku S i skali k obrazem okręgu o równaniu (x + 3)2 + (y + 1)2 = 1 jest okrąg o równaniu (x− 3)2 + (y− 2)2 = 9 . Oblicz współrzędne środka S jednokładności.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy dane okręgi – pierwszy ma promień 1 i środek (− 3,− 1) , a drugi promień 3 i środek (3,2) .

PIC

Skala jednokładności przekształcająca pierwszy okrąg na drugi musi więc być równa 3 lub − 3 (bo promień zmienia się jak mnożenie przez wartość bezwzględną skali).

Środek jednokładności najłatwiej wyznaczyć posługując się wektorami. Na początku rozważmy przypadek skali k = 3 . Szukamy punktu S = (x ,y) o własności

→ → SO 2 = 3SO 1 [3− x,2− y] = 3[− 3− x ,− 1− y].

Mamy zatem układ równań

{ 3− x = 3(− 3 − x) 2− y = 3(− 1− y) { 2x = − 12 2y = − 5.

Zatem ( ) S = −6 ,− 52 .

Teraz zajmijmy się przypadkiem k = − 3 . Podobnie jak poprzednio mamy

→ → SO 2 = − 3SO 1 [3− x,2− y] = − 3[− 3− x ,− 1− y].

Daje to układ

{ 3− x = − 3(− 3 − x) 2− y = − 3(− 1− y) { − 6 = 4x − 1 = 4y.

Zatem ( ) S = − 3,− 1 2 4  
Odpowiedź: ( ) S = − 6,− 5 2 lub ( ) S = − 3,− 1 2 4 .

Wersja PDF