/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Dzielenie z resztą

Zadanie nr 4132575

Reszta z dzielenia wielomianu 3 2 W (x) = 4x − 5x − 23x + m przez dwumian x + 1 jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian (x − a ) to po prostu W (a) . Wiemy zatem, że

20 = W (− 1) = − 4 − 5 + 23 + m ⇒ m = 6.

Pozostało wyznaczyć pierwiastki wielomianu

W (x) = 4x 3 − 5x 2 − 2 3x+ 6.

Szukamy najpierw pierwiastka całkowitego wśród dzielników wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków jest x = − 2 . Dzielimy więc wielomian przez dwumian (x+ 2) (my zrobimy to grupując wyrazy).

3 2 3 2 2 4x − 5x − 23x + 6 = 4x + 8x − 13x − 26x + 3x + 6 = = 4x2(x + 2) − 13x (x+ 2)+ 3(x+ 2) = (4x2 − 13x + 3)(x+ 2).

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu w nawiasie.

2 4x − 1 3x+ 3 = 0 Δ = 169 − 48 = 121 = 1 12 x = 13-−-11-= 1- ∨ x = 13-+-11-= 3. 8 4 8

Równanie ma więc trzy pierwiastki: { 1 } x ∈ − 2 ,4,3 .  
Odpowiedź: m = 6 , { } 1 x ∈ − 2, 4,3

Wersja PDF