/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Dzielenie z resztą/Przez stopnia 1

Zadanie nr 9677349

Wielomian 3 2 W (x) = 2x + mx − 22x + n jest podzielny przez każdy z dwumianów x+ 3 i x − 4 . Oblicz wartości współczynników n i m oraz rozwiąż nierówność W (x) ≥ 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli wielomian W (x) dzieli się przez (x + 3 ) i przez (x− 4) , to x = − 3 i x = 4 są jego pierwiastkami. Mamy więc

{ 0 = W (− 3) = − 54+ 9m + 6 6+ n 0 = W (4 ) = 128 + 16m − 88 + n. { 0 = W (− 3) = 12+ 9m + n 0 = W (4 ) = 40+ 16m + n.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić n ) i mamy

0 = 28+ 7m ⇒ m = − 4.

Z pierwszego równania układu otrzymujemy

n = − 12 − 9m = − 12 + 36 = 24.

Stąd

W (x) = 2x3 − 4x2 − 22x + 24 = 2(x3 − 2x2 − 11x + 12 ).

Wiemy, że W (x) dzieli się przez

2 (x + 3)(x − 4 ) = x − x− 12.

Wykonujemy to dzielenie – my zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 2 2 x − 2x − 11x + 1 2 = x(x − x − 12) − (x − x − 12 ) = = (x − 1)(x2 − x − 12 ).

Pozostało rozwiązać nierówność

W (x) ≥ 0 2(x− 1)(x + 3)(x − 4) ≥ 0 x ∈ ⟨− 3,1⟩∪ ⟨4,+ ∞ ).

 
Odpowiedź: (n ,m) = (24,− 4) , x ∈ ⟨− 3,1 ⟩∪ ⟨4,+ ∞ )

Wersja PDF