Zadanie nr 6425097
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie i polu powierzchni bocznej równym . Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka ma miarę . Objętość tego ostrosłupa jest równa , gdzie jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik .
Rozwiązanie
Szkicujemy oczywiście opisaną sytuację – niech i będą wysokościami sąsiednich ścian bocznych. Oznaczmy też przez długość krawędzi postawy i przez wysokość ściany bocznej.
Sposób I
Podane pole powierzchni bocznej pozwala nam powiązać ze sobą i .
Z drugiej strony, w trójkącie prostokątnym mamy
W powyższym rachunku korzystaliśmy z tego, że
Spróbujmy teraz obliczyć długość odcinka .
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny i obliczamy wysokość ostrosłupa.
Objętość ostrosłupa jest więc równa
Wciąż jeszcze pozostało w tym wyrażeniu – musimy je zamienić na wyrażenie zależne od i . Wiemy, że
oraz
Wracamy teraz do wzoru na objętość
Zatem .
Sposób II
Jeżeli uwierzymy w informację podaną w treści zadania (a mamy prawo tak zrobić), to współczynnik w podanym wzorze na objętość
nie zależy ani od ani wartości . Możemy więc go obliczyć przyjmując dowolnie te dwie wartości. Wybierzmy np. i . Same rachunki wykonujemy w zasadzie podobnie jak w poprzednim sposobie, tzn.
W trójkącie prostokątnym mamy
W szczególności
Odcinek jest wysokością trójkąta równobocznego , więc
Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że
W trójkącie prostokątnym obliczamy teraz wysokość ostrosłupa.
Objętość ostrosłupa jest więc równa
Z drugiej strony, ze wzoru podanego w treści zdania mamy
Mamy zatem
Odpowiedź: