/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup

Zadanie nr 6425097

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o podstawie ABC i polu powierzchni bocznej równym P . Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka S ma miarę 2α . Objętość tego ostrosłupa jest równa ∘ ----3------(--------2--) k ⋅P sin α 3− 4sin α , gdzie k jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik k .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy oczywiście opisaną sytuację – niech SE i SF będą wysokościami sąsiednich ścian bocznych. Oznaczmy też przez a długość krawędzi postawy i przez h wysokość ściany bocznej.


PIC


Sposób I

Podane pole powierzchni bocznej pozwala nam powiązać ze sobą a i h .

P = P = 3 ⋅ 1-a⋅h ⇒ ah = 2-P. b 2 3

Z drugiej strony, w trójkącie prostokątnym ST E mamy

 a sin α = TE-= 4-= -a- ⇒ a = 4h ⋅sinα SE h 4h ST ST cos α = SE-= -h- ⇒ ST = h cos α.

W powyższym rachunku korzystaliśmy z tego, że

 1- 1- a- TE = 2DB = 4 AB = 4 .

Spróbujmy teraz obliczyć długość odcinka RT .

 √ -- RT = RC − T C = 2CD − 1CD = 1-CD = 1-⋅ a--3-= √ 3- √ -2 6 6 2 3 3 = 4h ⋅sin α⋅ ----= ----⋅hsin α. 12 3

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny SRT i obliczamy wysokość ostrosłupa.

 ∘ ----------- ∘ --------------------- ∘ ------------ SR = ST 2 − RT 2 = h 2cos2 α− 1h2 sin 2α = h 1 − 4-sin2α . 3 3

Objętość ostrosłupa jest więc równa

 √ -- √ -- ∘ ------------ 1 a2 3 3 2 4 2 a ∘ --------2--- V = -⋅ ------⋅SR = ----a ⋅h 1− --sin α = ---⋅(ah) ⋅ 3 − 4sin α = 3 4 12 ∘ ----3----------12-- a-- 2- ∘ --------2--- a-2P2 ( 2 ) = 12 ⋅ 3P ⋅ 3− 4sin α = 182 3− 4sin α .

Wciąż jeszcze pozostało a w tym wyrażeniu – musimy je zamienić na wyrażenie zależne od P i α . Wiemy, że

 a a = 4h sin α ⇒ h = ------- 4 sin α

oraz

 2 2P = ah = a ⋅---a---= --a---- ⇒ a2 = 8P sin α. 3 4 sin α 4 sin α 3

Wracamy teraz do wzoru na objętość

 ∘ ------------------- ∘ ---------------------------- a2P2-( 2 ) 8- P-2-( 2 ) V = 3 24 3 − 4 sin α = 3P sin α⋅ 324 3− 4sin α = ∘ -------------(-----------)- = -2--⋅P 3sinα 3 − 4 sin 2α . 243

Zatem k = -2- 243 .

Sposób II

Jeżeli uwierzymy w informację podaną w treści zadania (a mamy prawo tak zrobić), to współczynnik k w podanym wzorze na objętość

∘ ------------------------ k ⋅P3 sin α (3− 4sin2 α)

nie zależy ani od α ani wartości P . Możemy więc go obliczyć przyjmując dowolnie te dwie wartości. Wybierzmy np. α = 30 ∘ i P = 3 . Same rachunki wykonujemy w zasadzie podobnie jak w poprzednim sposobie, tzn.

 1 2 3 = P = Pb = 3 ⋅-ah ⇒ ah = 2 ⇒ a = --. 2 h

W trójkącie prostokątnym STE mamy

1 T E a a 2 1 --= sin3 0∘ = ----= 4-= ---= h--= --2- 2 SE h 4h 4h 2h h2 = 1 ⇒ h = 1.

W szczególności

a = 2-= 2. h

Odcinek ST jest wysokością trójkąta równobocznego SEF , więc

 √ -- √ -- √ -- SE---3 h--3- --3- ST = 2 = 2 = 2 .

Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że

 √ -- √ -- 1- 1- 2--3- --3- RT = RC − T C = 6DC = 6 ⋅ 2 = 6 .

W trójkącie prostokątnym SRT obliczamy teraz wysokość SR ostrosłupa.

 ∘ ----------- ∘ -------- ∘ --- √ -- SR = ST 2 − RT 2 = 3− 3--= 24-= 2--6-. 4 36 36 6

Objętość ostrosłupa jest więc równa

 √ -- √ -- √ -- √ -- 1- a2--3- --3- 2--6- ---2 V = 3 ⋅ 4 ⋅SR = 3 ⋅ 6 = 3 .

Z drugiej strony, ze wzoru podanego w treści zdania mamy

 ∘ ----------------------------- ∘ -----------(-----------) ( 1 ) 3 1 V = k ⋅P3 sin α 3 − 4sin2 α = k⋅ 3 ⋅--⋅2 ⋅1 ⋅--⋅(3 − 1) = -------- ---- 2 2 = √ k ⋅27⋅ 2 = √ 54k.

Mamy zatem

 √ -- √ ---- --2- 2 54k = V = 3 / () 4 4 1 2 54k = -- ⇒ k = --⋅---= ---. 9 9 54 243

 
Odpowiedź:  2 k = 243-

Wersja PDF
spinner