/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 1807769

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD . Krawędź boczna tego ostrosłupa jest o √ -- 8 2 dłuższa od krawędzi podstawy, a wysokość ostrosłupa jest równa 14. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi podstawy, to przekątna podstawy ma długość √ -- a 2 , a krawędź boczna ma długość √ -- a + 8 2 . Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AES .

AE 2 + SE 2 = AS 2 ( √ -) 2 a 2 √ -- ----- + 1 42 = (a+ 8 2)2 2 a2 √ -- ---+ 196 = a2 + 16 2a + 128 2 0 = 1-a2 + 16√ 2a − 68. 2

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

√ -- √ -- Δ = (16 2)2 + 2⋅6 8 = 648 = (18 2)2 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- a = − 16 2 − 18 2 = − 34 2 lub a = − 16 2+ 18 2 = 2 2 .

Objętość ostrosłupa jest więc równa

1- 2 1- 112- V = 3a ⋅SE = 3 ⋅8 ⋅14 = 3 .

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej, obliczamy długość wysokości SF ściany bocznej. Patrzymy na trójkąt prostokątny AF S .

∘ ------------ ∘ --√------√--------√----- √ ---- √ --- SF = AS 2 − AF 2 = (2 2 + 8 2)2 − ( 2)2 = 19 8 = 3 22.

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

-- --- --- --- P = 4 ⋅ 1-⋅AB ⋅SF = 2⋅ 2√ 2⋅ 3√ 22 = 12 √ 44 = 24√ 11 . b 2

 
Odpowiedź: √ --- V = 1132, Pb = 24 1 1

Wersja PDF