/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 4643983

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o przekątnej √ -- 1 0 2 cm . Krawędź boczna ostrosłupa tworzy z podstawą kąt o mierze 45∘ . Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Ponieważ przekątna kwadratu o boku a ma długość √ -- a 2 , mamy

√ -- √ -- AB 2 = 10 2 ⇒ AB = 1 0.

Łatwo wyliczyć długość wysokości SE ostrosłupa. Można to zrobić na różne sposoby: można zauważyć, że trójkąt BES jest równoramienny (dwa kąty mają miarę 45∘ ); można zauważyć, że trójkąt BSD jest połówką kwadratu, czyli 1 SE = 2BD ; można wreszcie skorzystać wprost z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie BES . Tak czy inaczej otrzymamy

√ -- SE = 1BD = 5 2. 2

Możemy teraz policzyć objętość

√ -- √ -- V = 1-⋅102 ⋅5 2 = 500--2. 3 3

Aby policzyć pole powierzchni całkowitej, wyliczmy najpierw wysokość SF trójkąta ABS . Patrzymy na trójkąt EF S .

∘ ----------- √ -------- √ -- F S = SE2 + EF 2 = 50 + 25 = 5 3.

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej

2 1- √ -- √ -- Pc = AB + 4PABS = 10 0+ 4 ⋅2 ⋅1 0⋅5 3 = 100 + 100 3.

 
Odpowiedź: 500√2 3 √ -- 2 V = --3-- cm , Pc = (100 + 100 3 ) cm

Wersja PDF