/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 4725297

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD . Pole trójkąta ASC jest równe 120, a stosunek długości podstawy tego trójkąta do długości ramienia jest równy |AC | : |AS | = 10 : 13 . Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi bocznej, przez H wysokość ostrosłupa oraz niech ∡SAE = α . Mamy zatem

cos α = AE-- = 1-AC--= 1-⋅ 10-= -5- AS 2 AS 2 13 13 ∘ ----25-- 12 sin α = 1− ----= --- 169 13 sin α 1123 12 tg α = ----- = -5-= --. c osα 13 5

Stąd

SE--= tg α = 12- ⇒ AE = -5-H . AE 5 12

Pozostało teraz skorzystać z podanego pola trójkąta ASC .

1 5 12 120 = PASC = -⋅ AC ⋅ H = AE ⋅H = ---H ⋅H / ⋅ --- 2 √ -- 12 5 288 = H 2 ⇒ H = 12 2.

Obliczamy jeszcze długość krawędzi podstawy

√ -- 5 5 √ -- √ -- √ -- AB 2 = AC = 2AE = -H = --⋅1 2 2 = 10 2 / : 2 6 6 AB = 10.

Objętość ostrosłupa jest więc równa

√ -- √ -- V = 1⋅AB 2 ⋅H = 1-⋅100 ⋅12 2 = 4 00 2. 3 3

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej obliczamy najpierw wysokość ściany bocznej

∘ ----------- √ --------- √ ---- SF = SE 2 + EF 2 = 288 + 25 = 313.

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

√ ---- P = 4 ⋅ 1-⋅AB ⋅SF = 20 31 3. b 2

 
Odpowiedź: √ -- √ ---- V = 400 2, Pb = 20 313

Wersja PDF