/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 6826090

Przekątna prostopadłościanu ma długość 8 cm, a miara kąta, jaki tworzy ona ze ścianą boczną wynosi 30∘ . Oblicz objętość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi √ -- 2 7 cm .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Mając podaną długość przekątnej, oraz kąt ∡A ′BD ′ , z trójkąta prostokątnego A ′BD ′ wyliczamy długości odcinków A ′D′ i A ′B .

{ ′ ′ ABDD′ = sin 30∘ A′B- ∘ { BD ′ = c os30 A′D′ = 1 8′ 2√- A8B-= 23- { ′ ′ A D = 4√ -- A ′B = 4 3.

Potrzebujemy jeszcze długość krawędzi ′ ′ A B – wyliczymy ją z trójkąta prostokątnego ′ ′ A B B .

′ ′ ∘ --′-2-----′-2 A B = A--B--−-B-B------- ∘ √ -- √ -- = (4 3)2 − (2 7)2 √ -------- √ -- = 48 − 28 = 2 5.

Pozostało policzyć objętość

′ ′ ′ ′ ′ √ -- √ -- √ --- V = A B ⋅A D ⋅B B = 2 5⋅4 ⋅2 7 = 16 35.

 
Odpowiedź: √ --- 16 3 5 cm 3

Wersja PDF