Zadania.info: zestaw nr 89868, Próbna matura 2010, poziom rozszerzony, zestaw 5 (www.zadania.info), 5

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 10 kwietnia 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(4 pkt.)

Dwa pociągi: towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, jadą naprzeciw siebie po dwóch równoległych torach i spotykają się w miejscu $S$ . Mijanie się pociągów trwa 20 s, a czas przejazdu pociągu osobowego przez miejsce $S$ jest o 25 sekund krótszy od czasu przejazdu pociągu towarowego. Oblicz prędkości obu pociągów, zakładając, że poruszają się ruchem jednostajnym.

Zadanie 2

(5 pkt.)

Wyznacz dziedzinę funkcji

∘ ------------------- 3 3 3 3 5− x y = --+ -2-+ -3-+ -4 + lo g2x+2 -----. x x x x 6− x

Zadanie 3

(6 pkt.)

W trójkącie prostokątnym $ABC$ wysokość $BD$ dzieli przeciwprostokątną $AC$ na odcinki o długościach $|AD | = 3$ i $|DC | = 2 4$ .

Oblicz długości boków trójkąta $ABC$ .
Oblicz długość odcinka $AE$ , gdzie $E$ jest punktem wspólnym dwusiecznej kąta $BAC$ i boku $BC$ .

Zadanie 4

(4 pkt.)

Dane są dwa nieskończone ciągi $(xn)$ i $(yn)$ takie, że dla każdego $n ≥ 1$ , punkt o współrzędnych $(y + n ,x ) n n$ jest środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach $A = (xn ,yn),B = (− 2,1 ),C = (4,− 3)$ . Wyznacz wzory ciągów $(xn )$ i $(yn )$ .

Zadanie 5

(5 pkt.)

Prawdopodobieństwa zdarzeń $A$ i $B$ oraz zdarzeń do nich przeciwnych spełniają warunki: $′ P (A ∪ B ) = 0 ,2 3$ i $′ ′ P(A ∪ B ) = 0 ,81$ .

Oblicz $P(B )$ .
Wykaż, że jeżeli $P(A ) < 0,21$ to $P(A ′ ∩ B ′) > 0,02$ .

Zadanie 6

(5 pkt.)

Wykaż, że równanie $x5 + 8x2 + x + 1 = 0$ nie ma rozwiązań w przedziale $⟨− 1,1⟩$ .
Wykaż, że równanie $4 2 2 sinx cos x − 2sinx cos x− 8cos x+ 2sin x+ 9 = 0$
nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 7

(5 pkt.)

Środki okręgów $o1$ i $o2$ znajdują się po różnych stronach prostej $y = − 3x+ 2$ , która zawiera punkty wspólne tych okręgów. Wiedząc, że promień okręgu $o2$ jest równy $√ -- 7 2$ oraz, że okrąg $o 1$ ma równanie $(x + 1)2 + (y − 3)2 = 20$ , wyznacz równanie okręgu $o2$ .

Zadanie 8

(5 pkt.)

Proste $k,l,m$ są parami różne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór $S$ składający się z $3n$ punktów ( $n ≥ 3$ ), przy czym na każdej z prostych wybrano $n$ punktów. Wiadomo ponadto, że jeżeli trzy punkty zbioru $S$ leżą na jednej prostej, to prostą tą jest $k ,l$ lub $m$ . Oblicz ile jest trójkątów o wierzchołkach należących do zbioru $S$ .

Zadanie 9

(6 pkt.)

Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego $ABCS$ o wierzchołku $S$ mają długość $∘ ----√--- 2+ 3$ . Wiedząc, że $∘ √ -- |∡ASB | = 30 ,|BC | = 3,|AC | = 2$ oblicz objętość tego ostrosłupa.