Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4254395

Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Mamy układ

{ a+ b+ c = 13 b = 3a { 4a+ c = 13 b = 3a { c = 13 − 4a b = 3a

i chcemy znaleźć rozwiązanie z minimalnym a2 + b2 + c2 . Z układu mamy

a2 + b2 + c2 = a2 + (3a )2 + (1 3− 4a )2 = 2 2 2 = a + 9a + 169 − 104a + 16a = = 26a2 − 104a + 1 69 = = 13(2a2 − 8a + 13 ).

Aby znaleźć wartość najmniejszą tego wyrażenia, szukamy wartości najmniejszej funkcji f(a) = 2a 2 − 8a + 13 . W tym miejscu jest jednak pewien delikatny szczegół. Ponieważ liczby mają być dodatnie, a nie może być zupełnie dowolne. Dokładniej:

a > 0 b = 3a > 0 1 3 c = 13− 4a > 0 ⇒ a < ---. 4

Szukamy zatem minimum funkcji f na przedziale ( ) 0, 13 4 . Liczymy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji:

xw = 2.

Ponieważ punkt ten leży w przedziale ( ) 0, 134 , to właśnie w nim funkcja osiąga minimum. Otrzymujemy stąd a = 2,b = 6,c = 5 .  
Odpowiedź: a = 2 ,b = 6,c = 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Numer zadania jest wysyłany automatycznie.
Jeżeli oczekujesz odpowiedzi podaj adres e-mail.