Zadania.info: Konkursy (7), 20

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Konkursy

Wyszukiwanie zadań

Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $5 n − n$ jest podzielna przez 5.

Rozwiązanie (512931)

Ukryj

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7 n − n$ jest podzielna przez 7.

Rozwiązanie (261993)

Każdy z czterech kwadratów na rysunku ma bok długości 1. Jaka jest długość odcinka $AB$ ?

A) 5 B) $√ --- 13$ C) $√ -- √ -- 5 + 2$ D) $√ -- 5$ E) Inna odpowiedź

Rozwiązanie (565105)

Ramiona kąta ostrego o mierze $2x$ przecięto prostą $k$ prostopadłą do dwusiecznej kąta, która jest odległa o $d$ od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej $k$ . Oblicz odległość środków tych okręgów.

Rozwiązanie (582770)

Trzema cięciami zaznaczonymi na rysunku podzielono duży sześcian na osiem prostopadłościanów. Ile jest równy stosunek sumy pól powierzchni tych ośmiu prostopadłościanów do pola powierzchni sześcianu?

A) 1:1 B) 4:3 C) 3:2 D) 2:1 E) 4:1

Rozwiązanie (585340)

Ile jest liczb naturalnych $n$ , dla których największy spośród jej dzielników naturalnych różnych od 1 i $n$ jest 45 razy większy od najmniejszego spośród tych dzielników?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Więcej niż 3.

Rozwiązanie (613577)

W kwiaciarni są 102 róże, w tym: 24 białe, 42 czerwone i 36 żółtych. Jaka jest największa liczba jednakowych bukietów, które można ułożyć ze wszystkich róż?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

Rozwiązanie (617364)

Jaką najmniejszą liczbę małych kwadracików należy zacieniować na rysunku obok, aby powstała ﬁgura miała oś symetrii?

A) 4 B) 6 C) 5 D) 2 E) 3

Rozwiązanie (647562)

Uzasadnij, że suma skierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta (niekoniecznie wypukłego) jest równa $2π = 36 0∘$ .
Uzasadnij, że suma nieskierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego jest równa $∘ 2π = 36 0$ .
Wyprowadź wzór na sumę kątów wewnętrznych dowolnego $n$ –kąta.

Rozwiązanie (684359)

Pole trapezu jest równe $P$ , a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Rozwiązanie (688408)

W pięciu pudełkach znajdują się karty oznaczone literami A, E, I, O, U, jak pokazano na rysunku. Paweł powyjmował z pudełek niektóre karty tak, że w każdym z nich została jedna karta, przy czym w każdym z inną literą. Która karta pozostała w pudełku 2?

A) A B) E C) I D) O E) U

Rozwiązanie (710072)

Wykaż, że jeżeli $x,y,x$ są długościami boków trójkąta to $√ 3(x+y +z) ∘ ------------ -----2---- > x 2 + y2 + z 2$ .

Rozwiązanie (721241)

Niech $P$ oznacza pole obszaru zakreskowanego liniami pionowymi i niech $S$ będzie polem zakreskowanej ﬁgury. Średnice kół wynoszą odpowiednio 6, 4, 4 i 2. Wówczas

A) $2P = S$ B) $3P = 2S$ C) $P = S$ D) $2P = 3S$ E) $P = 2S$

Rozwiązanie (737372)

Jeżeli iloczyn dwóch liczb całkowitych jest równy $5 2 3 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7$ , to ich suma
A) może być podzielna przez 8
B) może być podzielna przez 3
C) może być podzielna przez 5
D) może być podzielna przez 49
E) nie może być podzielna przez żadną z liczb 8, 3, 5, 49

Rozwiązanie (738372)

Punkt $E$ leży na ramieniu $BC$ trapezu $ABCD$ , w którym $AB ∥ CD$ . Udowodnij, że $∡AED = ∡BAE + ∡CDE$ .

Rozwiązanie (771471)

Piotr pokonuje na rowerze trasę z miasta $P$ do miasta $Q$ ze stałą prędkością. Gdyby zwiększył prędkość o $3m /s$ , to przybyłby do $Q$ w czasie 3 razy krótszym. Ile razy krócej będzie jechał z $P$ do $Q$ , jeżeli zwiększy prędkość o $6m /s$ ?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 4,5 E) 8

Rozwiązanie (789279)

W trójkącie równoramiennym (patrz rysunek) długość podstawy wynosi $a$ , zaś wysokości opuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe $H$ i $h$ . Kąt między ramieniem trójkąta i wysokością opuszczoną na podstawę ma miarę $α$ .

Wyraź $tg α$ w zależności od wielkości $a$ i $H$ .
Wyraź $co sα$ w zależności od wielkości $a$ i $h$ .
Wykaż, że jeśli $2 a = H ⋅h$ , to $√ -- sin α = 2− 1$ .

Rozwiązanie (817352)

Ciąg cyfr powstał przez napisanie 2009 razy liczby 2009. Suma wszystkich cyfr nieparzystych w tym ciągu, które znajdują się bezpośrednio przed cyfrą parzystą, jest równa
A) 2 B) 9 C) 4018 D) 18072 E) 18081

Rozwiązanie (855405)

Punkt $M$ jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego $ABCD$ . Punkt $N$ jest punktem wspólnym przekątnej $BD$ i wysokości $CE$ opuszczonej na dłuższą podstawę $AB$ . Wykaż, że $|DM |2 = |MN |⋅|MB |$ .