Suma pewnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa sumie następnych trzech kolejnych liczb całkowitych. Największa z tych ośmiu liczb jest równa
A) 4 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12
Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku.
Wykaż, że punkty 
i 
są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
W pudełku znajduje się 7 kart. Na każdej z nich napisano dokładnie jedną z liczb od 1 do 7 i na różnych kartach, różne liczby. Mędrzec 
wyciągnął losowo 3 karty z pudełka, zaś mędrzec 
wyciągnął losowo 2 karty (w pudełku zostały dwie karty). Wówczas mędrzec 
powiedział do mędrca 
: „Wiem, że suma liczb na twoich kartach jest parzysta.” Suma liczb na kartach mędrca 
jest równa
A) 10 B) 12 C) 6 D) 9 E) 15
Dla jakich liczb naturalnych 
, liczba 
jest kwadratem liczby naturalnej?
Ukryj Dla jakich liczb naturalnych 
, liczba 
jest kwadratem liczby naturalnej?
Na rysunku obok punkty 
są współliniowe oraz 
i 
. Wówczas miara kąta 
jest równa
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Powierzchnia bryły narysowanej obok składa się z 6 ścian trójkątnych. W każdym wierzchołku bryły umieszczono liczbę tak, by sumy liczb umieszczonych w wierzchołkach danej ściany były jednakowe dla wszystkich ścian. Dwie liczby 3 i 6 są zaznaczone na rysunku. Ile wynosi suma wszystkich liczb umieszczonych w wierzchołkach?
A) 9 B) 12 C) 17 D) 18 E) 24
Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4. Jakie pole ma koło opisane na tym kwadracie?
Wykaż, że równanie 
nie ma rozwiązań całkowitych.
Na rysunku obok przedstawione są dwa półokręgi oraz cięciwa 
większego półokręgu, która jest równoległa do 
i styczna do mniejszego półokręgu. Ile wynosi pole zacieniowanego obszaru, jeżeli 
?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) Za mało danych by to wyliczyć
Okrąg podzielono na cztery łuki o długościach 2, 5, 6 i 
. Kąt środkowy oparty na łuku długości 2 ma miarę 
. Jaką wartość ma 
.
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
Kwadrat podzielono na 2009 kwadratów, których długości boków są liczbami całkowitymi. Jaką najmniejszą długość może mieć bok dzielonego kwadratu?
A) 44
B) 45
C) 46
D) 503
E) Nie można kwadratu podzielić na 2009 takich kwadratów.
Z którego z poniższych kawałków papieru można skleić pudełko, którego kształt przedstawiono na rysunku obok?
Uzupełniamy tablicę wpisując w każde pole liczbę 0 albo 1, w taki sposób, aby sumy liczb każdego wiersza i każdej kolumny były równe 2. Jakie są wartości 
i 
?
A) 
, 
B) 
, 
C) 
, 
D) 
, 
E) Nie można tego ustalić
Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba 
?
Aby otrzymać liczbę 
, liczbę 
należy podnieść do potęgi
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 16
Uzasadnić, że 
prostych może podzielić płaszczyznę na maksymalnie 
obszarów.
Która z poniższych liczb nie może być wartością wyrażenia 
, gdzie 
jest liczbą całkowitą?
A) 870 B) 110 C) 90 D) 60 E) 30
Ile liczb trzycyfrowych podzielnych przez 9 ma następującą własność: suma cyfr ilorazu tej liczby przez 9 jest o 9 mniejsza od sumy jej cyfr?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 11
Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta ma miarę 
. W trójkącie tym poprowadzono dwusieczne jego kątów wewnętrznych. Ile stopni ma miara kąta zaznaczonego na rysunku znakiem zapytania?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Informacje
Zadania
Losowe zadanie
i 
są kwadratami. Udowodnij, że 
.