Zadania.info: zadanie nr 3741265, Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku, 7

Zadania.info

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Rejestracja

Forum

Szukaj

Pomoc

Baza zawiera: 8479 zadań, 413 zestawów, 30 poradników

cornersUpL

cornersUpR

random

Podobne strony

cornersR

/Konkursy

Zadanie nr 3741265

Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4 cm.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy bok wpisanego kwadratu przez $a$ .

Sposób I

Naszkicujmy opisaną sytuację i dorysujmy wysokość $CG$ trójkąta $ABC$ .

Jeżeli przez $h$ oznaczymy wysokość trójkąta równobocznego $ABC$ , to z podobieństwa trójkątów $DEC$ i $ABC$ mamy

DE CH ---- = ---- AB CG a- h-−-a- 4 = h ah = 4(h− a) a(h + 4) = 4h 4h a = -----. h+ 4

Pozostało skorzystać ze znanego wzoru $- 4√-3 √ -- h = 2 = 2 3$ .

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- a = -√8--3---= √4---3--= -√4--3(2-−---3√)---= 8 3− 1 2. 2 3 + 4 3 + 2 ( 3+ 2)(2− 3)

Zatem pole kwadratu jest równe

√ -- 2 2 √ -- 2 √ -- √ -- (8 3− 12) = 4 (2 3 − 3) = 1 6(12− 12 3 + 9) = 4 8(7− 4 3).

Sposób II

Tym razem również zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość odcinka $AG$ przez $x$ .

Ponieważ $∡A = 60∘$ , mamy

x 1 ----= cos6 0∘ = -- AD 2 AD = 2x .

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa do trójkąta $AGD$

2 2 2 a + x = (2x ) 3x 2 = a2 √ -- 3 x = -3-a.

Z drugiej strony $2x + a = AB = 4$ , zatem

√ -- 3 2⋅ ---a + a = 4 ( 3√ -- ) 2---3 a 3 + 1 = 4 √ -- a(2 3 + 3) = 12 a = -√-12---- 2 3 + 3 √ -- a = --√-12-(2--3−√-3)---- (2 3 + 3 )(2 3− 3) √ -- √ -- a = 12-(2--3−--3) = 4(2 3− 3 ). 3

Pole wyliczamy jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: $√ -- 48(7 − 4 3 )cm2$

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!