Zadanie nr 7627047

Udowodnij, że jeżeli liczby a1,a2,...,an , gdzie n ≥ 2 , tworzą ciąg arytmetyczny i żadna z nich nie jest zerem, to

-1--+ --1--+ ⋅⋅⋅ + ---1--- = n-−--1. a1a2 a2a3 an− 1an a1an

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Uzasadnimy podaną równość indukcyjnie.

Dla n = 2 mamy oczywistą równość

-1---= --1--. a1a2 a 1a2

Załóżmy, że wzór ten jest prawdziwy dla liczby , pokażemy jego prawdziwość dla liczby n + 1 . Liczymy

-1---+ --1--+ ⋅⋅⋅+ ---1--- + ---1--- = a1a2 a2a 3 an −1an anan +1 n − 1 1 (n − 1)a + a (n − 1)(a + nr )+ a = ------+ -------= --------n+-1----1= ----------1---------1-= a1an anan+1 a1anan+ 1 a 1anan +1 na 1 + (n − 1 )nr n (a1 + (n− 1)r) nan n = ---------------- = ----------------- = --------- = -------, a1anan+1 a1anan +1 a 1anan+1 a1an+1

co kończy dowód indukcyjny.

Sposób II

Tym razem będziemy się wzorować na znanym sposobie liczenia sumy

--1- + -1--+ ⋅ ⋅⋅+ ----1---- = 1 ⋅2 2⋅3 n (n + 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1 ) 1 n = --− -- + -− -- + ⋅⋅⋅+ --− ------ = 1− ------= -----. 1 2 2 3 n n + 1 n + 1 n+ 1

Zauważmy, że

1-- -1--- ak+1 −-ak- ---r--- a − a = a a = a a . k k+1 k k+ 1 k k+ 1

Zatem

( ) 1 1 1 1 a-a----= r- a-− a---- . k k+1 k k+1

Przekształćmy teraz sumę z treści zadania

1 1 1 -----+ -----+ ⋅⋅⋅+ -------= a 1a2( a2a3 ) a(n−1an ) ( ) 1- -1- 1-- 1- -1- 1-- 1- --1-- -1- = r a1 − a2 + r a 2 − a3 + ⋅⋅⋅+ r an− 1 − an = ( ) = 1- -1-− 1-- = an-−-a1-= (n-−-1)r-= (n-−-1). r a1 an ra1an ra1an a1an