/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 7815790

Ciąg (an ) dla n ≥ 1 jest ciągiem arytmetycznym oraz Sn = a1 + a2 + ⋅ ⋅⋅+ an dla n ≥ 1 . Wykaż, że jeżeli spełniony jest warunek 2 Sn+1= (n+12)- Sn n dla n ≥ 1 , to spełniony jest również warunek an+-1 2n+1- an = 2n−1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzoru 2a +(n− 1)r Sn = -1--2-----⋅n na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

(n + 1)2 Sn+1 2a1+2nr ⋅(n+ 1) n ---n2----= -S---= -2a1+(n−1)r---- / ⋅ n-+-1- n 2 ⋅ n n + 1 2a1 + nr --n---= 2a-+--(n-−-1)r- 1 (n+ 1)(2a1 + nr − r) = n(2a 1 + nr ) 2 2 2na1 + n r − nr + 2a1 + nr − r = 2na 1 + n r r = 2a1.

Ze wzoru na n -ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy więc

an+1- ---a1 +-nr---- ---a1-+-2na-1--- a1(2n-+--1) 2n-+--1 an = a1 + (n− 1)r = a1 + 2(n − 1 )a1 = a1(2n − 1) = 2n − 1.

Sposób II

Korzystamy ze wzoru a1+an- Sn = 2 ⋅n na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

2 a1+an+-1 (n-+--1)- = Sn-+1 = ---2---⋅(n-+-1)- / ⋅--n--- n 2 Sn a1+a2n-⋅n n + 1 n-+--1 = a1-+-an+-1 n a1 + an (n + 1)(a 1 + an ) = n(a1 + an+1) na 1 + a 1 + nan + an = na1 + nan +1 an = −a 1 + n (an+1 − an) an = −a 1 + nr .

Z drugiej strony wiemy, że an = a1 + (n− 1)r . Mamy zatem równanie

a1 + (n − 1)r = −a 1 + nr 2a 1 = r.

Ciąg an jest więc ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 2a1 . Stąd

an+1- ---a1 +-nr---- ---a1-+-2na-1--- a1(2n-+--1) 2n-+--1 an = a1 + (n− 1)r = a1 + 2(n − 1 )a1 = a1(2n − 1) = 2n − 1.

Sposób III

Skoro dany warunek

Sn+1 (n + 1)2 -----= ----2---- Sn n

jest spełniony dla dowolnej liczby naturalnej n , możemy w nim podstawić n = 1 .

S 4 --2= -- S 1 1 a1-+-a2 a = 4 1 a1 + a2 = 4a1 a2 = 3a1 r = a2 − a1 = 2a1.

Ciąg an jest więc ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 2a1 . Stąd

a a + nr a + 2na a (2n + 1) 2n + 1 -n+1-= ----1---------= ----1-------1--- = -1--------- = -------. an a1 + (n− 1)r a1 + 2(n − 1 )a1 a1(2n − 1) 2n − 1
Wersja PDF