/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 6209450

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie x 2 − mx + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki x1 i x 2 takie, że x41 + x42 = 46 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki

2 √ -- √ -- 0 < Δ = m − √12-= (m√−--2 3)(m + 2 3) m ∈ (− ∞ ,−2 3)∪ (2 3 ,+∞ ).

Korzystamy ze wzorów Viète’a.

{ x + x = m 1 2 x1x2 = 3.

Mamy zatem

x 41 + x 42 = (x21 + x22)2 − 2x21x22 = ((x 1 + x 2)2 − 2x 1x2)2 − 2(x1x2)2 = 2 2 2 2 = (m − 6) − 2 ⋅9 = (m − 6) − 18.

Musimy zatem rozwiązać równanie

(m 2 − 6)2 − 18 = 46 2 2 (m − 6) = 64 m 2 − 6 = − 8 ∨ m 2 − 6 = 8 m 2 = − 2 ∨ m2 = 1 4 √ --- √ --- m = − 1 4 ∨ m = 14.

Ponieważ √ --- √ --- √ -- 14 > 12 = 2 3 obydwa pierwiastki spełniają warunek z Δ -ą.  
Odpowiedź: √ --- m = − 14 lub √ --- m = 14

Wersja PDF