Zadania.info: zestaw nr 52500, LX Olimpiada Matematyczna

Zadania

Konkursy

Baltic Way (1)
Olimpiada Matematyczna (1)
- 60 (LX) (1)
Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów (38)
Zadania (247)
Zadania testowe (259)

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Konkursy/Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna I stopień 2008/2009

I seria

Zadanie 1

Na niektórych polach szachownicy rozmiaru $m × n$ ustawiono wieże. Wiadomo, że dowolna wieża znajduje się w polu rażenia co najwyżej dwóch innych wież. Wyznaczyć, w zależności od $m ,n ≥ 2$ , największą liczbę wież na szachownicy, dla której taka sytuacja jest możliwa.

Zadanie 2

Dana jest liczba całkowita $n ≥ 2$ . Niech $r,r ,r ,...,r 1 2 3 n−1$ będą odpowiednio resztami z dzielenia liczb

1,1+ 2,1+ 2+ 3,...,1+ 2+ ...+ (n − 1)

przez $n$ . Znaleźć wszystkie takie wartości $n$ , że ciąg $(r1,r2,r3,...,rn− 1)$ jest permutacją ciągu $(1,2,3 ,... ,n − 1)$ .

Zadanie 3

Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ jest styczny do boków $BC ,CA ,AB$ odpowiednio w punktach $D ,E ,F$ . Punkty $M ,N ,J$ są odpo- wiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty $AEF ,BDF ,DEF$ . Dowieść, że punkty $F$ i $J$ są symetryczne względem prostej $MN$ .