/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane

Zadanie nr 4886325

Punkty A ,B,C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów α i β są odpowiednio równe

PIC

A) α = 36∘, β = 72∘ B) α = 54∘, β = 72∘ C) α = 3 6∘, β = 108∘ D) α = 72∘, β = 72∘

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, to

α = 2 ⋅∡DAC = 2 ⋅36∘ = 72 ∘.

Miarę kąta β obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Dorysujmy promień AO .

PIC

Ponownie korzystamy z tego, kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

∘ ∡AOD = 2 ⋅∡ACD = 72 1 1 ∘ ∘ ∘ ∡ABC = -∡AOC = --(72 + 72 ) = 72 . 2 2

Sposób II

Korzystamy z tego, że w czworokącie wpisanym w okrąg sumy przeciwległych kątów są równe 180∘ .

∡ABC = 180∘− ∡ADC = 180∘ − (180∘ − ∡DAC − ∡DCA ) = 36∘+ 3 6∘ = 72∘.

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF