Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2353615

Czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym, który nie jest równoległobokiem. Wiedząc, że podstawami trapezu są odcinki AB i CD , przy czym A = (− 2 ,− 4 ) , B = (7 ,5) i D = (− 1,2) , oblicz pole oraz obwód trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Widać, że od ręki możemy obliczyć długości: podstawy AB i ramienia AD .

 ∘ ------------------- √ -------- √ -- q = AB = (7 + 2)2 + (5 + 4)2 = 8 1+ 8 1 = 9 2 ∘ --------------------- 2 2 √ ------- √ --- AD = (− 1+ 2) + (2+ 4) = 1+ 36 = 37 .

Powinno też być jasne jak obliczyć wysokość DE trapezu – napiszemy równanie prostej DE , która jest prostopadła do AB i przechodzi przez D . To pozwoli wyznaczyć współrzędne punktu E .

Zacznijmy od prostej AB – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ −4 = − 2a+ b 5 = 7a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 9a = 9 , czyli a = 1 . Stąd b = 5− 7a = − 2 i prosta AB ma równanie y = x − 2 . To z kolei oznacza, że prosta DE (jako prostopadła do AB ) ma równanie postaci y = −x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu D .

2 = 1+ b ⇒ b = 1.

Prosta DE ma więc równanie y = −x + 1 . Szukamy teraz jej punktu wspólnego E z prostą AB .

{ y = x − 2 y = −x + 1

Dodajemy równania stronami i mamy 2y = −1 , czyli  1 y = − 2 . Stąd x = y+ 2 = 3 2 i  ( ) E = 3,− 1 2 2 . Wysokość trapezu jest więc równa

 ∘ ------------------------- ( ) 2 ( ) 2 ∘ --------- √ -- h = DE = 3-+ 1 + − 1-− 2 = 25+ 25-= 5- 2 . 2 2 4 4 2

Ponadto

 ∘ (-------)2---(--------)-2 ∘ --------- q−--p- 3- 1- 49- 49- 7-√ -- 2 = AE = 2 + 2 + − 2 + 4 = 2 + 2 = 2 2. √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- q − p = 7 2 ⇒ p = q − 7 2 = 9 2 − 7 2 = 2 2.

Pozostało obliczyć pole i obwód trapezu.

 p+ q 2√ 2-+ 9 √ 2- 5√ -- 55 P = -----⋅ h = ------------⋅ -- 2 = --- 2 2√ -- √2-- √ 2-- √ -- √ --- Ob = p + q + 2AD = 2 2+ 9 2+ 2 37 = 11 2+ 2 37.

 
Odpowiedź:  55 P = 2 ,  √ -- √ --- Ob = 11 2+ 2 37

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!