/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Wpisany w okrąg

Zadanie nr 2826507

Udowodnij, że w czworokącie wpisanym w okrąg suma iloczynów długości przeciwległych boków jest równa iloczynowi długości przekątnych (twierdzenie Ptolemeusza).

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Niech E będzie takim punktem przekątnej BD , że ∡ACD = ∡ECB oraz oznaczmy AB = a,BC = b,CD = c,DA = d , AC = e,BD = f , DE = m ,EB = n .

Zauważmy najpierw, że trójkąty ADC i BEC mają równe kąty (bo ∡DAC = ∡DBC ), więc są podobne. Mamy zatem

AD BE ---- = ---- ⇒ bd = en. AC BC

Podobnie, trójkąty DEC i ABC mają równe kąty (∡CDE = ∡CAB , ∡DCE = ∡ACB ), więc są podobne. Mamy stąd

DC AC ---- = ---- ⇒ ac = em . DE AB

Dodajemy teraz dwie otrzymane równości stronami

ac+ bd = em + en = e(m + n) = ef .
Wersja PDF