/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Różne

Zadanie nr 2886102

Udowodnij, że jeżeli w trójkącie dwa kąty nie są równe, to naprzeciw większego z nich leży dłuższy bok.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt.

PIC

Oznaczmy podane kąty przez α > β , a leżące naprzeciwko nich boki przez a i b . Mamy pokazać, że a > b .

Sposób I

Jeżeli α+β γ = -2-- , to

γ < α-+-α-= α. 2

Możemy zatem znaleźć na boku CB taki punkt D , że ∡DAC = γ . Wtedy

∘ ∡ADC = 180 − ∡C − ∡DAC = ∘ ∘ α+ β α+ β = 180 − (180 − α − β )− --2---= --2---

Zatem trójkat ADC jest równoramienny i b = CD < CB = a , co mieliśmy pokazać.

Sposób II

Jeżeli α ≤ 90 ∘ , to również β < α ≤ 90 ∘ . Funkcja y = sin x jest rosnąca w pierwszej ćwiartce, więc na mocy twierdzenia sinusów mamy

a = 2R sin α > 2R sin β = b.

Jeżeli natomiast α > 90∘ , to β + ∡C = 180∘ − α < 90 ∘ , więc podobnie jak poprzednio mamy

a = 2R sin α = 2R sin(180 ∘− (β + ∡C )) = 2R sin(β + ∡C ) > 2R sin β = b .
Wersja PDF