/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik wyższego stopnia

Zadanie nr 4510452

Wyprowadź zależność rekurencyjną wiążącą In+1 i In , jeżeli

∫ dx In = --2-----n, dla n ≥ 1 . (x + 1)
Wersja PDF

Rozwiązanie

Całkujemy przez części

∫ || ′ ---1--- || ---dx-----= ||u = 1 v = (x2+1)n || = (x2 + 1)n |u = x v′ = − -22nxn+1| ∫(x+ 1) ----x----- -----x2----- = (x 2 + 1 )n + 2n (x 2 + 1)n+ 1dx.

Ostatnią całkę przekształcamy

∫ x2 ∫ (x2 + 1)− 1 --2-----n+1dx = --2-----n+1-dx = (x + 1) ∫ (x + 1) ∫ ---dx----- ----dx------ = (x2 + 1)n − (x2 + 1)n+1 = In − In+ 1.

Podstawiając to wyrażenie do poprzedniej równości otrzymujemy

x In = --2-----n-+ 2n (In − In+ 1) (x + 1) 2nI = ----x-----+ (2n − 1)In / : 2n n+1 (x2 + 1)n 1 x 2n − 1 In+ 1 = ---⋅ --2-----n-+ -------⋅In. 2n (x + 1) 2n

 
Odpowiedź: In+1 = 12n ⋅ (x2x+-1)n-+ 2n2−n-1⋅In

Wersja PDF