Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5368593

Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB , gdzie A = (− 3;4) i B = (2;− 1) .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od obrazka.


PIC


Sposób I

Symetralna to zbiór punktów M = (x ,y) , które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty spełniają więc równanie

AM 2 = BM 2 2 2 2 2 (x + 3 ) + (y − 4) = (x− 2) + (y + 1 ) x 2 + 6x + 9+ y2 − 8y+ 16 = x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 − 10y = − 10x − 20 / : (− 10) y = x + 2.

Sposób II

Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x ,y ) 0 0

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

 → →v = AB = [2 + 3,− 1 − 4] = [5,− 5]

oraz  ( ) ( ) P = −-3+-2, 4−1 = − 1, 3 2 2 2 2 (środek odcinka AB ). Zatem szukana prosta ma równanie

 ( 1) ( 3 ) 5 x+ -- − 5 y − -- = 0 / : 5 2 2 1 3 y = x+ --+ --= x + 2. 2 2

Sposób III

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej AB . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci y = ax+ b , na której leżą punkty o współrzędnych (− 3,4) i (2,− 1) . Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań

{ 4 = − 3a+ b − 1 = 2a+ b

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować b ) mamy − 5 = 5a , czyli a = − 1 . Współczynnik b nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.

Symetralna odcinka AB jest prostopadła do prostej AB , więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy 1 (bo pomnożony przez − 1 ma dawać − 1 ). Zatem symetralna ta ma postać y = x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka AB , czyli punktu  ( −3+2- 4−-1) ( 1 3) P = 2 , 2 = − 2,2 .

3 1 3 1 --= − --⋅0+ b ⇒ b = --+ --= 2 . 2 2 2 2

Zatem symetralna ma równanie y = x + 2 .  
Odpowiedź: y = x+ 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!