Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6014766

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości V = 2 . Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy, a przez H wysokość graniastosłupa.


PIC


Z podanej objętości mamy

 2√ -- √ -- 2 = a---3-⋅H ⇒ H = --8√---= 8---3. 4 a2 3 3a2

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej.

 √ -- √ -- √ -- ( ) a2 3 a 2 3 8 3 √ -- a2 8 Pc = 2⋅ --4--+ 3aH = ---2--+ --a--= 3 -2-+ a- .

Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji  2 f(a) = a2-+ 8a określonej dla a ∈ (0,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

 ′ 8-- a3 −-8 f (a) = a− a2 = a2 .

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla a ∈ (0,2) i dodatnia dla a ∈ (2,+ ∞ ) . To oznacza, że funkcja f jest malejąca w przedziale (0,2⟩ i rosnąca w przedziale ⟨2,+ ∞ ) . Najmniejsze pole otrzymamy więc dla a = 2 . Wysokość prostopadłościanu jest wtedy równa

 √ -- √ -- H = 8--3-= 2--3-, 3a2 3

a jego pole powierzchni całkowitej jest równe

 √ -( a2 8) √ -- √ -- Pc = 3 ---+ -- = 3(2 + 4) = 6 3. 2 a

 
Odpowiedź: a = 2 ,  √ - H = 23-3 ,  √ -- Pc = 6 3 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!