Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9473027

Dane są okręgi o równaniach  2 2 x + y − 12x − 8y + 43 = 0 i x 2 + y2 − 2ax + 4y+ a2 − 77 = 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zapiszmy równania danych okręgów tak, aby było widać jakie są ich środki i promienie.

 2 2 (x − 12x + 36) + (y − 8y + 16 )− 36 − 1 6+ 43 = 0 (x− 6)2 + (y− 4)2 = 9 = 32.

Zatem pierwszy okrąg ma środek S1 = (6,4) i promień r1 = 3 .

(x2 − 2ax + a2)+ (y2 + 4y+ 4)− 4− 77 = 0 (x− a)2 + (y + 2 )2 = 81 = 92.

Zatem drugi okrąg ma środek S2 = (a,− 2) i promień r2 = 9 .

Jeżeli okręgi mają mieć jeden punkt wspólny, to muszą być styczne, czyli odległość ich środków musi być równa sumie lub różnicy ich promieni (w zależności od tego, czy styczność ma być zewnętrzna, czy wewnętrzna).

W pierwszym przypadku mamy równanie

S1S22 = (r1 + r2)2 2 2 2 (a − 6 ) + (− 2 − 4) = (3 + 9) (a − 6 )2 = 144 − 36 = 10 8 √ -- √ -- a− 6 = − 6 3 lub a− 6 = 6 6 √ -- √ -- a = 6− 6 6 lub a = 6 + 6 3 .

W drugim przypadku mamy

S1S 22 = (r2 − r1)2 2 2 2 (a − 6) + (− 2− 4) = (9− 3) (a − 6)2 = 0 ⇐ ⇒ a = 6.

Na koniec rysunek całej sytuacji.


PIC


 
Odpowiedź:  √ -- √ -- a ∈ {6 − 6 3,6,6+ 6 3}

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!