Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9481075

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M ⁄= A i M ⁄= C ), a na ramieniu BC wybrano punkt N , w taki sposób, że |AM | = |CN | . Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T . Udowodnij, że  1 |ST | = 2|AB | .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Sposób I

Zauważmy, że trójkąt ASM jest podobny do trójkąta AEC w skali AM-- AC , więc

 AM--- AS = AC ⋅ AE

Podobnie, z podobieństwa trójkątów BT N i BEC mamy

 ( ) BN-- BC-−-CN--- AM--- BT = BC ⋅BE = BC ⋅BE = 1− AC ⋅ AE .

Stąd

 ( ) AM AM 1 AS + BT = -----⋅AE + 1 − ----- ⋅AE = AE = --AB AC AC 2

i

 1 1 ST = AB − (AS + BT ) = AB − -AB = -AB . 2 2

Sposób II

Na mocy twierdzenia Talesa mamy

-AS-- AE-- BE-- ET-- -ET-- AM = AC = BC = CN = AM .

Zatem AS = ET . Analogicznie

BT--= BE--= AE--= SE--= -SE-, BN BC AC MC BN

czyli BT = SE i

 1 AB = AS + SE + ET + BT = 2SE + 2ET ⇒ ST = SE + ET = -AB . 2
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!