Zestaw użytkownika nr 9948_2104

zadania optymalizacyjne 2

Zadanie 1
(5 pkt)

Obwód okna przedstawionego na rysunku wynosi 7 m. W jakim stosunku powinny pozostawać odcinki a i b , aby przez okno wpadało jak najwięcej światła?

PIC

Zadanie 2
(5 pkt)

Obwód trójkąta równobocznego ABC jest równy 12 cm. Punkty M , N i P należą odpowiednio do boków AB , BC , AC tego trójkąta przy czym |AM | = |BN | = |CP | = x . Zbadaj dla jakiej wartości x , pole trójkąta MNP będzie najmniejsze. Znajdź wartość tego pola.

Zadanie 3
(5 pkt)

Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 216. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej.

Zadanie 4
(5 pkt)

Jaką największą objętość ma walec wpisany w kulę o średnicy długości 12 cm?

Zadanie 5
(5 pkt)

W stożek, którego wysokość ma długość H = 12 dm , a promień jego podstawy ma długość R = 4 dm wpisano walec, o podstawach równoległych do podstawy stożka. Jakie powinny być wymiary walca, aby jego objętość była największa?

Zadanie 6
(5 pkt)

Suma długości wysokości i długości jednej krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 2. Jaką najmniejszą długość może mieć przekątna takiego graniastosłupa.

Zadanie 7
(5 pkt)

Spośród tych graniastosłupów prawidłowych trójkątnych, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 18, wybierz graniastosłup o największej objętości. Oblicz tę maksymalną objętość.

Zadanie 8
(5 pkt)

Puszka konserwy ma kształt walca. Jaką wysokość i jaki promień podstawy powinna mieć ta puszka, aby przy objętości puszki 250πcm 3 zużyć jak najmniej materiału na jej wykonanie.

Zadanie 9
(5 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an ) dla n ≥ 1 , w którym a 7 = 1, a11 = 9 .

  • Oblicz pierwszy wyraz a1 i różnicę r ciągu (an ) .
  • Sprawdź, czy ciąg (a ,a ,a ) 7 8 11 jest geometryczny.
  • Wyznacz takie n , aby suma n początkowych wyrazów ciągu (an) miała wartość najmniejszą.
Zadanie 10
(5 pkt)

Pierwszy, trzeci i jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r ⁄= 0 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q . Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x ) = x2 + mx + q osiąga minimum większe od -196?

Zadanie 11
(5 pkt)

Dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an) jest o 48 mniejszy od sumy jego pierwszych 7 wyrazów. Oblicz sumę pierwszych 33 wyrazów tego ciągu wiedząc, że iloczyn a15a 19 ma najmniejszą możliwą wartość.

Zadanie 12
(5 pkt)

Ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym, w którym a51 = 1 oraz wyrażanie a23a37 ma najmniejszą możliwą wartość. Wyznacz a1 .

Zadanie 13
(5 pkt)

Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji √- 2 f(x) = log 22(8x − x ) .

Zadanie 14
(5 pkt)

Dana jest funkcja 2 f(x ) = sin x + cos x dla x ∈ R .

  • Rozwiąż równanie f (x) = 1 w przedziale ⟨0,2π⟩ .
  • Wyznacz największą wartość funkcji f .
Zadanie 15
(5 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x obliczamy różnicę sześcianów liczb: o 1 mniejszej od x oraz o 2 większej od x . Zapisz wzór otrzymanej w ten sposób funkcji i wyznacz jej wartość największą.

Zadanie 16
(5 pkt)

Wyznacz największą wartość funkcji ---1---- f (x ) = x2−2x+ 3 .

Zadanie 17
(5 pkt)

Wyznacz największą wartość funkcji -----1---- f (x ) = √ 2x2+-4x+-4- .

Zadanie 18
(5 pkt)

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji ----2----- f(x) = √2x2−4x+-3 na przedziale ⟨− 5,1 0⟩ .

Zadanie 19
(5 pkt)

Wyznacz tę wartość parametru k , dla której suma kwadratów pierwiastków równania x 2 + 2kx + 3k2 − 6k− 2 = 0 jest największa z możliwych.

Zadanie 20
(5 pkt)

Funkcja kwadratowa postaci 2 f(x) = ax + bx+ c , posiada miejsca zerowe równe -3 i 2, a jej współczynnik a < 0 . Oblicz wartości współczynników a,b,c wiedząc, ze największa wartość funkcji wynosi 2156 .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania Edytuj w kreatorze