/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2008

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 14 maja 2008 Czas pracy: 120 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD , która jest wykresem funkcji y = f(x) .

PIC

Korzystając z tego wykresu

  • zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f ,
  • podaj wartość funkcji f dla argumentu x = 1− √ 10- ,
  • wyznacz równanie prostej BC ,
  • oblicz długość odcinka BC .

Zadanie 2
(4 pkt)

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i n ≥ 3 wyraża się wzorem Pn = n(n−3) 2 .

  • Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
  • Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.
  • Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
  • Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków.

Zadanie 3
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 423x − 32 9x = 164 ⋅(44)4 . Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2k , gdzie k jest liczbą całkowitą.

Zadanie 4
(3 pkt)

Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi podwyżkami.

Zadanie 5
(5 pkt)

Nieskończony ciąg liczbowy (an) jest określony wzorem 1 an = 2− n , dla n = 1,2,3,... .

  • Oblicz, ile wyrazów ciągu (an) jest mniejszych od 1,975.
  • Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (a ,a ,x ) 2 7 jest arytmetyczny. Oblicz x .

Zadanie 6
(5 pkt)

Prosta o równaniu 5x + 4y − 10 = 0 przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz oś Oy w punkcie B . Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich, że trójkąt ABC ma pole równe 35 .

Zadanie 7
(4 pkt)

Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30∘ i 45∘ . Oblicz wysokość tego trapezu.

Zadanie 8
(4 pkt)

Dany jest wielomian W (x) = x3 − 5x2 − 9x + 45 .

  • Sprawdź, czy punkt A = (1,3 0) należy do wykresu tego wielomianu.
  • Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Zadanie 9
(5 pkt)

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f (x ) = (2x + 1)(x − 2) w przedziale ⟨− 2,2⟩ .

Zadanie 10
(3 pkt)

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h , określonej wzorem h (x) = a x dla x ⁄= 0 . Wiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt P = (2,5) .

PIC

  • Oblicz wartość współczynnika a .
  • Ustal, czy liczba h(π )− h (−π ) jest dodatnia czy ujemna.
  • Rozwiąż nierówność h(x) > 5 .

Zadanie 11
(5 pkt)

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się 2√ -- a-4-15 , gdzie a oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem β . Oblicz cos β i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych i odczytaj przybliżoną wartość β z dokładnością do 1∘ .

PIC

Zadanie 12
(4 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń:

  • A — w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek.
  • B -– suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9.
  • C -– suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania