/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Dowolny/Czworokąt w podstawie

Zadanie nr 5961154

Podstawą graniastosłupa prostego o objętości V jest równoległobok o bokach długości a i b . Wykaż, że pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest nie mniejsze niż ( ) 2V 1 + 1 a b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez H długość wysokości graniastosłupa, a przez α kąt ostry równoległoboku.

PIC

Na mocy wzoru na pole równoległoboku z sinusem, pole podstawy jest równe

Pp = absin α.

Z podanej objętości mamy więc

V = Pp ⋅H H = --V----. absin α

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

V Pb = 2aH + 2bH = (2a + 2b )⋅--------. ab sinα

Ponieważ sin α ∈ (0,1⟩ , mamy stąd

V 2V (a + b) ( 1 1) Pb = (2a + 2b) ⋅--------≥ ---------- = 2V -+ -- . ab sinα ab a b
Wersja PDF