/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny

Zadanie nr 4144953

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , którego iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek |q| < 1 . Stosunek sumy wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy S P wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. SN- SP = SN − SP . Oblicz .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Mamy do czynienia z trzema szeregami:
– o ilorazie , pierwszym wyrazie a1 = q i sumie q S = 1−q--
– o ilorazie , pierwszym wyrazie a = q 1 i S = --q- N 1−q 2
– o ilorazie , pierwszym wyrazie a = a q = q 2 2 1 i sumie S = -q2- P 1−q2 .

Pozostało rozwiązać równanie

S --N = SN − SP SP --q2 q q2 1−q2--= -------− ------- -q-2 1− q2 1 − q2 1−q 1- q−--q2- --q-(1−--q)---- --q--- q = 1− q2 = (1− q )(1+ q ) = 1 + q 1 + q = q2.

Rozwiązujemy teraz otrzymane równanie kwadratowe.

0 = q2 − q− 1 Δ = 1+ 4 = 5 √ -- √ -- 1-−---5- 1-+---5- q = 2 ≈ − 0 ,6 2 lub q = 2 ≈ 1,62 > 1.

Drugie rozwiązanie nie spełnia warunku |q| < 1 , więc √ - q = 1−--5 2 .
Odpowiedź: 1−√5- q = 2

Rozwiązanie Losuj ponownie