/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Największa suma

Zadanie nr 6487887

Rozważamy prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku łączącym punkty wspólne osi Ox i paraboli o równaniu y = x2 − 6x + 5 , a dwa należą do tej paraboli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego prostokąta, który ma największy obwód.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy współrzędne punktu A = (x ,0) , to punkt B musi być symetryczny względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli. Ponieważ

−b-- xw = 2a = 3,

Więc jeżeli B = (x′,0) , to x+x′ = 3 2 , czyli B = (6− x,0) . Łatwo wtedy wyliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków

D = (x,x2 − 6x + 5) 2 C = (6− x,(6− x) − 6(6− x)+ 5).

Obwód prostokąta wyraża się wzorem

f(x) = 2AB + 2AD = 2((6− 2x) − (x2 − 6x + 5)) = 2(−x 2 + 4x + 1).

Musimy znaleźć największą wartość funkcji f na przedziale (1 ,3 ) . Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największa wartość jest przyjmowana w wierzchołku, czyli dla x = 42 = 2 . Wtedy

A = (2,0 ), B = (4,0), C = (4,− 3), D = (2,− 3).

 
Odpowiedź: A = (2,0), B = (4 ,0 ), C = (4,− 3), D = (2,− 3)

Wersja PDF