Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego o ilorazie , a cosinus jednego z jego kątów jest równy .
- Wyznacz .
- Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość , oblicz pole tego trójkąta.
Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego o ilorazie , a cosinus jednego z jego kątów jest równy .
O liczbach i wiadomo, że tworzą ciąg arytmetyczny oraz ich suma wynosi . Wyznacz największą możliwą wartość wyrażenia . Dla jakich liczb i wartość ta jest osiągana.
Wyznacz największy wyraz ciągu danego wzorem , dla .
Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg, którego dwa pierwsze wyrazy są równe 1, a każdy kolejny jest sumą dwóch poprzednich. Jaką liczbą, parzystą czy nieparzystą, jest 528 wyraz ciągu Fibonacciego? Odpowiedź uzasadnij.
Oblicz miary kątów trójkąta, w którym długości boków tworzą ciąg geometryczny, a miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny.
Wykaż, że dla każdego ciąg jest arytmetyczny.
Wykaż, że dla każdego ciąg jest arytmetyczny.
Na płaszczyźnie dany jest nieskończony ciąg , dla , równoramiennych trójkątów prostokątnych. Pole trójkąta jest dwa razy mniejsze od pola trójkąta dla . Uzasadnij, że suma pól trójkątów i jest równa sumie pól wszystkich pozostałych trójkątów.
Na płaszczyźnie dany jest nieskończony ciąg , dla , trójkątów równobocznych. Pole trójkąta jest dwa razy mniejsze od pola trójkąta dla . Uzasadnij, że suma pól trójkątów i jest równa sumie pól wszystkich pozostałych trójkątów.
Sprawdź, czy liczby , , są w podanej kolejności kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Oblicz granicę
Oblicz granicę
Ciąg jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że , gdzie oznacza sumę początkowych wyrazów tego ciągu.
Jedno z rozwiązań równania jest równe 6. Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, w którym pierwszy wyraz jest o 8 większy od trzeciego. Znajdź drugie rozwiązanie tego równania.
Czwarty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 6. Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla , w którym . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność . Wyznacz iloraz tego ciągu.
W malejącym ciągu arytmetycznym spełnione są warunki oraz . Wyznacz sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu.
Rosnące, trzywyrazowe ciągi arytmetyczny i geometryczny mają pierwsze wyrazy równe 9. Trzecie wyrazy tych ciągów są także równe. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o 2 większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi.
Pierwszy, trzeci i jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie . Dla jakich wartości parametru funkcja osiąga minimum większe od ?
Trzy książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny zakupiono płacąc łącznie 76 zł. Najdroższa z nich kosztowała o 4 zł mniej niż dwie pozostałe razem. Ile kosztowała każda książka?
Suma trzech początkowych wyrazów rosnącego ciągu geometrycznego , określonego dla , jest równa . Te same liczby stanowią pierwszy, drugi oraz czwarty wyraz ciągu arytmetycznego , . Wyznacz wzór ciągu .