/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 1566108

Ciąg (an ) jest określony wzorem n(n+-1)(2n+1) an = 6 dla n ≥ 1 . Wykaż, że każdy kolejny wyraz tego ciągu jest większy od poprzedniego wyrazu o kwadrat liczby naturalnej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Obliczamy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu (an) :

(n+ 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1) n(n + 1)(2n + 1 ) an+1 − an = -----------------------------− -----------------= 6 6 = n+--1-⋅(n + 2 )(2n + 3)− n(2n + 1 ) = 6 [ ] n+ 1 [ 2 2 ] = ------⋅ 2n + 3n + 4n + 6− 2n − n = 6 = n+--1-⋅(6n + 6) = (n + 1)2. 6
Wersja PDF