Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki
Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 21 kwietnia 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba log3 6+ lo g916 jest równa
A) lo g 96 3 B) log 12 3 C) log 324 D) log 354

Zadanie 2
(1 pkt)

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem  n2⋅√3n+n-3 an = (√-2n+-√6)3 dla n ≥ 1 . Wtedy
A)  lim an = -√1- n→+ ∞ 2 2 B)  lim an = 0 n→ + ∞ C) n→lim+ ∞ an = + ∞ D)  √3 nl→im+ ∞ an = 2√-2

Zadanie 3
(1 pkt)

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x ) .


PIC


Wskaż wykres funkcji y = f′(x ) .


PIC


Zadanie 4
(1 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie BC dane są: |BC | = 1 5 oraz |∡BAC | = 36∘ . Odcinek BD jest odcinkiem dwusiecznej kąta ABC (zobacz rysunek).


PIC


Wówczas długość odcinka AD jest równa
A) |AD | = 1 5 B) |AD | = 16 C)  √ -- |AD | = 6 5 D)  √ -- |AD | = 8 5

Zadanie 5
(1 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy mniejszy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 1 2 . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A) 3 7 B) 1 7 C) 7 3 D) 7

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x+1- x2+ 1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P = (− 1,0 ) .

Zadanie 7
(3 pkt)

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A1,A 2,B1,B 2,C1,C 2,D1,D 2 (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Zadanie 8
(3 pkt)

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość boku BC trójkąta ABC jeżeli |∡BAC | = α i pole trójkąta ABC jest równe S .

Zadanie 9
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie | | ||-1x − -9|| + m = 3 2 10 ma dokładnie jedno rozwiązanie i rozwiązanie to jest liczbą dodatnią. Wyznacz to rozwiązanie.

Zadanie 10
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

x (x2 − 2x + 3)+ y(y2 − 2y + 3) ≥ 2xy + 2.

Zadanie 11
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania  √ - sin 2x cos2x = 1+ --2 8 16 należące do przedziału ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 12
(4 pkt)

Suma 2018 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) jest równa 1417, a suma odwrotności tych wyrazów jest równa 109. Oblicz iloczyn 2018 początkowych wyrazów ciągu (an) .

Zadanie 13
(5 pkt)

Napisz równanie okręgu o środku P = (− 2,− 7) , którego punkty wspólne z okręgiem o równaniu  2 2 x − 8x + y + 2y + 7 = 0 są końcami odcinka o długości  √ -- 4 2 .

Zadanie 14
(5 pkt)

Z cyfr 0, 1, 2 tworzymy sześciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 60. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Zadanie 15
(6 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α , a krawędź podstawy ma długość a . Przez krawędź podstawy poprowadzono płaszczyznę tworzącą z płaszczyzna podstawy kąt β . Wykaż, że pole otrzymanego przekroju jest równe

a2sin2 αco sβ ----2---------. sin (α + β)

Zadanie 16
(7 pkt)

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji  9x−45 f(x) = x−6 określonej dla x ∈ (− ∞ ,6) . Wykres ten przecina osie Ox i Oy odpowiednio w punktach B i D , a punkt A jest początkiem układu współrzędnych. Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , w których punkt C leży na wykresie funkcji y = f(x) pomiędzy punktami B i D .


PIC


Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych czworokątów, którego pole jest największe.

ArkuszWersja PDF