/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 2218229

Wykaż, że jeżeli pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest π razy większe od pola trójkąta, to trójkąt ten jest równoramienny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy długości przyprostokątnych trójkąta przez a i b , a długość przeciwprostokątnej przez c .

PIC

Zauważmy teraz, że okrąg o średnicy będącej przeciwprostokątną trójkąta to dokładnie okrąg opisany na trójkącie (bo kąt oparty na średnicy jest prosty). W takim razie promień tego okręgu to połowa przeciwprostokątnej i podaną informację o polach możemy zapisać w postaci

( c)2 1 4 π ⋅ -- = π ⋅-ab / ⋅-- 2 2 2 π c = 2ab.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa c2 = a 2 + b2 , więc mamy

2 2 a + b = 2ab a2 − 2ab + b2 = 0 (a − b)2 = 0 .

Zatem rzeczywiście a = b .

Wersja PDF