Zadanie nr 2962786

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Sposób I

Poprowadźmy wysokość danego trójkąta. Długość odcinka obliczymy z trójkąta prostokątnego CMP . Zanim jednak zajmiemy się tym trójkątem, popatrzmy na trójkąt prostokątny CBP . Ponieważ jest on podobny do wyjściowego trójkąta (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt ), łatwo można wyliczyć długości jego boków.

∘ ---------- BA = 152 + 202 = √ 6-25 = 25 BP-- BC-- 152- BC = BA ⇒ BP = 25 = 9 P C AC 1 5⋅20 ----= ---- ⇒ PC = -------= 12. BC BA 25

Skoro znamy długość , to długość odcinka możemy obliczyć jako różnicę długości i . Do tego jednak musimy znać długość BM = BO = BC − OC . Długość to po prostu długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC , którą możemy obliczyć ze wzoru na pole: P = pr , gdzie jest połową obwodu trójkąta.

P 2P 15 ⋅20 r = p-= 2p-= 15-+-20-+-25-= 5.

Mamy więc

BM = BO = BC − OC = 15 − 5 = 1 0 P M = BM − BP = 10 − 9 = 1 .

Pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie CMP .

∘ ------------ √ -------- √ ---- CM = PC 2 + PM 2 = 144 + 1 = 1 45.

Sposób II

Długość odcinka możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACM . Zanim to jednak zrobimy, musimy wyliczyć cos∡A i .

AC 20 4 cos ∡A = ----= ---= -. AB 25 5

Aby obliczyć długość odcinka , zaznaczmy pozostałe punkty styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta i oznaczmy AM = AN = x , CN = CO = y i BM = BO = z . Mamy wtedy układ równań.