/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Prędkość

Zadanie nr 2136689

Samochód A , jadący pod górę, w pierwszej sekundzie pokonał 25 m, a w każdej następnej o pół metra mniej niż w poprzedniej. W tym samym momencie, gdy A rozpoczął podjazd, zjazd z góry rozpoczął samochód B , będący w odległości 360 m od A . Samochód B w pierwszej sekundzie przebył drogę 9 m, a w każdej następnej o 2 m więcej niż w poprzedniej. Jaką odległość pokonał samochód A do chwili minięcia z samochodem B ?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Policzmy jaką drogę przebył każdy z samochodów w czasie t sekund. Droga pokonana przez samochód A jest sumą malejącego ciągu arytmetycznego z a1 = 2 5 i rA = − 0,5 , a droga samochodu B jest sumą rosnącego ciągu z b = 9 1 i r = 2 B . Zatem po t sekundach samochody przejechały

2a-1 +-(t-−-1)rA 50−--0,5(t−--1)- sA = 2 ⋅t = 2 ⋅t sB = 2b1-+-(t−--1)rB ⋅t = 18-+-2(t-−-1) ⋅t. 2 2

Samochody się spotkają, gdy w sumie przejadą 360 m, czyli

5 0− 0 ,5(t− 1) 18 + 2(t − 1) ----------------⋅t + ------------- ⋅t = 360 /⋅ 4 2 2 (100 − (t − 1))t+ (36+ 4(t− 1 ))t = 1440 (101 − t)t+ (32+ 4t)t = 1440 3t2 + 133t − 1440 = 0 2 Δ = 1768 9+ 1 7280 = 34 969 = 18 7 −-13-3+--187 t = 6 = 9.

Samochody spotkały się więc po 9 sekundach. Samochód A przebył w tym czasie drogę

50-−-0,5(t-−-1)-⋅t = 50-−-4-⋅9 = 207 m . 2 2

Sposób II

Zadanie można też rozwiązać wprost, bez używania żadnych wzorów. Zróbmy tabelkę z odległościami pokonanymi przez oba samochody (można zauważyć, że samochody zbliżają się coraz szybciej, więc tabelka nie będzie zbyt długa).

Sekunda Droga A Droga A
w sumie 		Droga B Droga B
w sumie 		Razem
1 25 25 9 9 34 m
2 24,5 49,5 11 20 69,5 m
3 24 73,5 13 33 106,5 m
4 23,5 97 15 48 145 m
5 23 120 17 65 185 m
6 22,5 142,5 19 84 222,5 m
7 22 164,5 21 105 269,5 m
8 21,5 186 23 128 314 m
9 21 207 25 153 360 m

No i dalej możemy nie liczyć, bo widać, że po 9 sekundach samochody się spotkały. Samochód A przejechał w tym czasie 207 m.  
Odpowiedź: 207 metrów

Wersja PDF