/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny/Różne

Zadanie nr 9274850

W trapezie kąty przy dłuższej podstawie to  ∘ 60 i  ∘ 30 , a długość wysokości trapezu wynosi 6. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw wiedząc, że suma długości ramion jest równa sumie długości podstaw.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku


PIC


Widać, że z trójkątów prostokątnych AED i F BC można łatwo wyliczyć długości odcinków x i y oraz długości ramion.

 -- -- DE--= tg6 0∘ = √ 3 ⇒ x = √6--= 2 √ 3 AE 3 AE 1 √ -- ---- = co s60∘ = -- ⇒ AD = 2x = 4 3 AD √ 2- CF-- ∘ --3- -6- √ -- F B = tg 30 = 3 ⇒ y = √-3 = 6 3 3 F C ∘ 1 ----= sin 30 = -- ⇒ BC = 2FC = 12. BC 2

Pozostało skorzystać teraz z równości sum długości ramion i podstaw.

AD + BC = 2a+ x+ y √ -- √ -- √ -- 4 3 + 12 = 2a + 2 3+ 6 3 2a = 12 − 4 √ 3- ⇒ a = 6 − 2√ 3.

Zatem druga podstawa ma długość

 √ -- √ -- √ -- √ -- a+ x + y = 6− 2 3 + 2 3 + 6 3 = 6+ 6 3,

a pole jest równe

 √ -- √ -- √ -- P = 6-−-2--3-+-6-+-6--3-⋅6 = 36+ 12 3. 2

 
Odpowiedź: Podstawy:  √ -- √ -- 6 − 2 3 , 6 + 6 3 , pole  √ -- 36 + 12 3

Wersja PDF
spinner